[科普中国]-非负整数

自然数（natural number），是非负（目前课本中未将0列为自然数）/正整数（1, 2, 3, 4……）。认为自然数不包含零的其中一个理由是因为人们在开始学习数字的时候是由“一、二、三...”开始，而不是由“零、一、二、三...”开始, 因为这样是非常不自然的。

自然数通常有两个作用：可以被用来计数（如“有七个苹果”），参阅基数；也可用于排序（如“这是国内第三大城市”），参阅序数。

自然数组成的集合是一个可数的，无上界的无穷集合。数学家一般以N来表示它。（以N*表示除0之外的自然数）自然数集上有加法和乘法运算，两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数。也可以作减法或除法，但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。

自然数是人们认识的数系中最基本的一类。为了使数的系统有严密的逻辑基础，19世纪的数学家建立了关于自然数的两种理论：自然数的序数理论和基数理论，使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述。自然数的加法、乘法运算可以在序数或基数理论中给出定义，并且两种理论下的运算是一致的。

在全球范围内，目前针对0是否属于自然数的争论依旧存在。在中国大陆，2000年左右之前的中小学教材一般不将0列入自然数之内，或称其属于“扩大的自然数列”。在2000年左右之后的新版中小学教材中，普遍将0列入自然数。

定义

为了给出自然数的严格定义，皮亚诺采用序数理论提出自然数的5条公理，被称为皮亚诺公理。这五条公理用非形式化的方法叙述如下：

1是自然数；

每一个确定的自然数n都有一个确定的后继者，记作n+1。n+1也是自然数；

如果m、n都是自然数，并且m+1 = n+1，那么m = n；

1不是任何自然数的后继者；

如果某个集合S具有性质：

1在S中；

若n在S中，则n+1也在S中。

那么S=N。（公理5保证了数学归纳法的正确性，从而被称为归纳法原理）

若将0也视作自然数，则公理中的1要换成0，并且删除第4条。

第五条是归纳公理，它确保了在自然数集中数学归纳法的成立，也是对自然数集形态的一种限定。因为即使是有限集，也存在环形映射满足第二条（自单射）。而只有自然数集才能满足所有这五条的限定。

戴德金-皮亚诺结构

一个戴德金-皮亚诺结构为一满足下列条件的三元组（X,x,f）：

X是一集合，x为X中一元素，f是X到自身的映射。

x不在f的值域内。（对应上面"定义"一节的公理4）

f为一单射。（对应上面的公理3）

若A为X的子集并满足：

x属于A；

若a属于A，则f（a）亦属于A

则A=X。

集合论形式的构造

一个标准的构造方法如下：

定义，代表空集。

然后对于任何集合a，设。S(a)称为a的后继，S相当于后继函数。

根据无穷性公理，自然数集存在。考虑所有包含0且在S之下封闭的集合，然后取它们的交集就得到了自然数集。可以验证这些集合是符合皮亚诺公理的。

如此，每个自然数都等同于由所有更小的自然数所组成的集合，即

在此定义下，在集合n内就有n个元素；而若n小于m，则n会是m的子集。

符号

数学家们使用 N 或 来表示所有自然数的集合。

为了明确的表示不包含0，正整数集合一般如下表示：

N+ 或 N* 或

Z+ 或

而非负整数集合一般如下表示：

N0 或

或

集合论者也通常把包括0的自然数集记作希腊字母的ω（小写的欧米伽），因为第一个无穷序数便是ω。

分类奇偶性

可分为奇数和偶数。

1、奇数：不能被2整除的数叫奇数。

2、偶数：能被2整除的数叫偶数。

也就是说，一个自然数要麽是奇数，要麽就是偶数。

注：0是偶数。

因数个数

可分为质数、合数、1和0。

1、质数：只有1和它本身这两个因数的自然数叫做质数。也称作素数。

2、合数：除了1和它本身还有其它的因数的自然数叫做合数。

3、1：只有1个因数，就是它自身。它既不是质数也不是合数。

4、0和1一样，既不是质数也不是合数。

性质运算

对自然数可以递归定义加法和乘法。其中，加法运算“+”定义为：

a + 0 = a；

a + S(x) = S(a+x)， 其中，S(x)表示x的后继者。

如果我们将S(0)定义为符号“1”，那么b + 1 = b + S(0) = S( b + 0 ) = S(b)，即，“+1”运算可求得任意自然数的后继者。

如此，便可得出交换幺半群(N,+)，是由1生出的自由幺半群，其中幺元为0。此幺半群服从消去律，可嵌入一群内：最小的是整数群。

同理，乘法运算“×”定义为：

a × 0 = 0；

a × S(b) = a × b + a

(N,×)亦是交换幺半群；

×和+符合分配律：

自然数的减法和除法可以由类似加法和乘法的逆的方式定义。

带余除法

对于两个自然数a,b，不一定有自然数c使得 。所以若用乘法的逆来定义除法，这个除法不能成为一个二元运算（即不符合封闭性，即使不允许除以0）。但我们可以用带余除法作为替代。

现设a,b为自然数， ，则有自然数q和r使得a=bq+r且r